底部的高压高温让岩层融化

尽管，关于山脉高度问题有各种各样的原因。但是冰川腐蚀毕竟需要时间，对山体的削弱能力有限；山体底部的高压高温形成条件太过苛刻，在被融化之前，岩层就因承受不了高压而破碎了。因此，岩层的力学性能才是限制高山高度的主要因素。本文将从简单的模型开始，考虑岩层的抗压性能，获取地球山脉高度的极限值。

2、山体数据

山体是个复杂的组合物，含有岩石、土壤、植被等等多种材（如下图），其中岩石层是主要的承力结构。不同岩石的强度都各不相同，对于比较“硬”的花岗岩，其抗压强度在300MPa左右，抗拉强度4MPa左右，抗剪强度28MPa左右，花岗岩密度3000kg/m3。可见，花岗岩的抗压强度要远大于另外两个强度。即：花岗岩很耐压。实际上，绝大多数材料都具备这种性能。

山体分层示意图

土壤层密度取1800kg/m3，冰川密度900kg/m3。实际上，山体的绝大部分结都是岩层，只不过不同高度，岩层的性质不太一样，越接近表面，岩层密度越小。

3、力学基本原理

以岩层作为研究对象，底层的岩层受到三个方向的压缩，处于三向压缩的应力状态，如下图。

三向压缩应力状态

岩石作为一种脆性材料，虽然其抗压强度高，但是抗剪强度要低很多。在受压的情况下，极易在45°左右发生压裂。单向受压的情况下，在45°会产生最大的剪应力，当这个剪应力达到抗剪强度时，岩石被压裂，如下图。

压裂裂缝必成45°角

4、理论计算——单向受压

简单起见，忽略山体的其他组成部分，仅以岩层作为对象。地表的重力加速度9.8m/s2，在2万米的高空，重力加速度约9.74m/s2。两者相差不大，因此本文取9.8m/s2。取岩层底部作为研究对象，其受到上面岩石的重力，以及四周侧面的挤压力。作为简单计算，先暂时忽略四周的挤压应力。

受力分析

底层岩石受到的压应力与高度、密度，和重力加速度有关。根据岩石的抗压极限300MPa，可以得到此时对应的高度Ｈ＝10204m。根据岩石的抗剪强度28MPa（此时压应力56MPa），可以得到对应的高度H=1905m。通过上述计算，我们发现基于压应力和剪应力得到的山体高度相差了5倍左右。

根据单向受压的模型，发现：假如存在一个呈柱状的山体，那么其高度不超过1905m。否者，就会在自重的作用下压溃。这一结果与实际相差太远，因为实际山体处于三向压缩的应力状态下。侧面的挤压应力，会大大缓解45°的剪应力。

5、山体的有限元分析——三向压缩

为了简化模型，以圆锥形的山作为分析对象。假设山高2万米，底部半径分别取0.5、1、2万米。在自重作用下，等效应力如下图。

三种尺寸下的等效应力云图

三向压缩的情况下，很难发生45°的剪切破坏。因此，我们已等效应力作为判断依据。通过计算，三种尺寸的最大应力200MPa以上，如果是花岗岩，还未达到其抗压强度。由此可见，地球上2万米的高山，理论上是可以存在的。

超出抗压极限的山体

为了确定山体的高度，经过多次试算，发现底部应力不仅仅与高度有关，同样的高度下，半径越大，底部应力也越大。上图为高3W米，半径3W米的情况，此时，最大应力早已超出岩石的承受极限了。

6、总结

山体高度除了受冰川侵蚀、岩层风华外，最主要的是岩石自身的强度极限。通过计算，单向压缩情况下，花岗岩山体不超过1904m。但是考虑更加符合实际的三向压缩，山体高度与其底部面积有关。底部面积越大，山中心的等效应力也越大。计算表明，2万米高的山脉，在地球上是可以实现的。最高究竟有多高，这与底部面积有关，无法给出确切的一个值。

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